函数f(x)在定义域R上不是常数函数且f(x)满足条件对任意x∈R都有f(2+x)=f(2-x)f(1+x)=-f(x)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 00:42:03
函数f(x)在定义域R上不是常数函数且f(x)满足条件对任意x∈R都有f(2+x)=f(2-x)f(1+x)=-f(x)则f(x)是偶函数但非奇函数 为什么?
∵对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),f(1+x)=-f(x)
f(2+x)=f[1+(1+x)]=-f(1+x)=f(x),
f(2-x)=f[1+(1-x)]=-f(1-x)=f(-x)
又f(2+x)=f(2-x)
∴f(x)=f(-x)
故f(x)为偶函数
又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数,函数f(x)在定义域R上不是常数函数
∴函数f(x)为偶函数不是常数函数
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再问: f[1+(1+x)]怎么算
再答: f[1+(1+x)]怎么算? 运用:f(1+x)=-f(x),(1+x)相当于f(1+x)=-f(x)的x,于是f[1+(1+x)]=-f(1+x)。 也可以这样解释:令1+x=y,f[1+(1+x)]=f[1+y]=-f(y)=-f(1+x)。
f(2+x)=f[1+(1+x)]=-f(1+x)=f(x),
f(2-x)=f[1+(1-x)]=-f(1-x)=f(-x)
又f(2+x)=f(2-x)
∴f(x)=f(-x)
故f(x)为偶函数
又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数,函数f(x)在定义域R上不是常数函数
∴函数f(x)为偶函数不是常数函数
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再问: f[1+(1+x)]怎么算
再答: f[1+(1+x)]怎么算? 运用:f(1+x)=-f(x),(1+x)相当于f(1+x)=-f(x)的x,于是f[1+(1+x)]=-f(1+x)。 也可以这样解释:令1+x=y,f[1+(1+x)]=f[1+y]=-f(y)=-f(1+x)。
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