神马作文网已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12x
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/16 02:47:52
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝
x
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因为当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，
即k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，
亦即k＜
xlnx+2x−1
x−1=
xlnx+1
x−1+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，
所以不等式转化为k＜
xlnx+1
x−1+2对任意x＞1恒成立．
设p（x）=
xlnx+1
x−1+2，则p′（x）=
x−lnx−2
(x−1)2，
令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-
1
x=
x−1
x＞0
所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），
当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函数p（x）=
xlnx+1
x−1+2在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又r（x0）=x0-lnx0-2=0，所以lnx0=x0-2．
所以[p（x）]min=p（x0）=
x0lnx0+1
x0−1+2=
x0(x0−2)+1
x0−1=x0-1+2∈（4，5），
所以k＜[p（x）]min=x0-1+2∈（4，5）
故整数k的最大值是4．
故答案为：4
即k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，
亦即k＜
xlnx+2x−1
x−1=
xlnx+1
x−1+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，
所以不等式转化为k＜
xlnx+1
x−1+2对任意x＞1恒成立．
设p（x）=
xlnx+1
x−1+2，则p′（x）=
x−lnx−2
(x−1)2，
令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-
1
x=
x−1
x＞0
所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），
当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函数p（x）=
xlnx+1
x−1+2在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又r（x0）=x0-lnx0-2=0，所以lnx0=x0-2．
所以[p（x）]min=p（x0）=
x0lnx0+1
x0−1+2=
x0(x0−2)+1
x0−1=x0-1+2∈（4，5），
所以k＜[p（x）]min=x0-1+2∈（4，5）
故整数k的最大值是4．
故答案为：4
已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx
已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g(x)＝(lnx−1)ex+x
已知函数f(x)＝x^3-2x+1,g(x)＝lnx,求F(x)＝f(x)-g(x)的单调区间和极值.
已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x,求证f(x)>g(x)+1/2
已知函数f(x)=lnx+a/x-2 g(x)=lnx+2x
已知函数f(x)＝12x2+lnx
已知函数f(x)＝lnx+1x−1
已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x (1)求函数f(x)的单调区间
已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax(a>0)
已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x^2+x)
已知函数f(x)＝3x-lnx,求这个函数的导数f'(x)
已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2-2x