已知函数f(x)=1nx+x−ax(a≥−2),g(x)=ex−x,其中e为自然对数的底数,且当x>0时f(x)≥3恒成
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/01 15:18:13
已知函数f(x)=1nx+x−
(a≥−2),g(x)=e
a |
x |
(Ⅰ)g'(x)=ex-1,g'(x)<0⇒x<0,g'(x)>0⇒x>0,
∴g(x)的减区间是(-∞,0),增区间是(0,+∞).
(Ⅱ)f(x)=lnx+x−
a
x≥3恒成立,即
a
x≤lnx+x−3,
∵x>0,∴a≤xlnx+x2-3x恒成立.
设h(x)=xlnx+x2-3x,(x>0),h'(x)=lnx+2x-2,
由于h'(x)在(0,+∞)上是增函数,且h'(1)=0,
∴x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)是减函数,x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)是增函数,
∴h(x)min=h(1)=-2,从而若a≤xlnx+x2-3x恒成立,必有a≤-2.
又∵a≥-2,
∴a的取值集合为{-2}.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,g(x)≥g(0)=1,即ex-x≥1,当且仅当x=0时等号成立,
∴x>0时,有ex>x+1.
∴f(x)+g(x)=lnx+ex+
2
x>lnx+x+1+
2
x,
设F(x)=lnx+x+1+
2
x(x>0),
则F′(x)=
1
x+1−
2
x2=
x2+x−2
x2=
(x+2)(x−1)
x2,
当x∈(0,1)时,F'(x)<0,F(x)是减函数,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,F(x)是增函数,
∴F(x)≥F(1)=4,
即f(x)+g(x)>4成立.
∴g(x)的减区间是(-∞,0),增区间是(0,+∞).
(Ⅱ)f(x)=lnx+x−
a
x≥3恒成立,即
a
x≤lnx+x−3,
∵x>0,∴a≤xlnx+x2-3x恒成立.
设h(x)=xlnx+x2-3x,(x>0),h'(x)=lnx+2x-2,
由于h'(x)在(0,+∞)上是增函数,且h'(1)=0,
∴x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)是减函数,x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)是增函数,
∴h(x)min=h(1)=-2,从而若a≤xlnx+x2-3x恒成立,必有a≤-2.
又∵a≥-2,
∴a的取值集合为{-2}.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,g(x)≥g(0)=1,即ex-x≥1,当且仅当x=0时等号成立,
∴x>0时,有ex>x+1.
∴f(x)+g(x)=lnx+ex+
2
x>lnx+x+1+
2
x,
设F(x)=lnx+x+1+
2
x(x>0),
则F′(x)=
1
x+1−
2
x2=
x2+x−2
x2=
(x+2)(x−1)
x2,
当x∈(0,1)时,F'(x)<0,F(x)是减函数,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,F(x)是增函数,
∴F(x)≥F(1)=4,
即f(x)+g(x)>4成立.
已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx−1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).
已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,且当x≥0时,f(x)=ex+a,其中e为自然对数的底数 (1)求函数f(x
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=-x²+2ex+t-1 ,g(x)=x+e²/x (x>0,e表示自然对数的底数)
已知函数f(x)=(ax方+x)×ex次方,其中e是自然对数的底数,(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)当a=
已知函数f(x)=exx2+x+1−3e249(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实数).
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的最小值; (2)若f(x)≥0对
已知函数f(x)=e^x(x2+ax+2) 其中a属于R、(e为自然对数的底数) (1)当a=0时,求函数f(x)的图象
(2014•汕尾二模)已知函数f(x)=1x+lnx−1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).
(2009•湖北模拟)已知函数f(x)=12(ex+ex−2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f-1(x)
(2014•石家庄二模)已知函数f(x)=a•ex,x≤0−lnx,x>0,其中e为自然对数的底数,若关于x的方程f(f