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初二一道几何题.如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD,过点D作AC的垂线,垂足为

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 23:17:44
初二一道几何题.
如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形
ACD,过点D作AC的垂线,垂足为F,与AB相交于点E,连接CE.
(1)说明AE=CE=BE
(2)若AB=15cm,P是直线DE上一点.当P在何处时,PB+PC最小
,并求出此时PB+PC的值.
初二一道几何题.如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD,过点D作AC的垂线,垂足为
1.∵△ADC等边 且DE⊥AC
∴∠ADE=CDE AD=DC DE是公共边
∴△ADE≌△CDE
∴AE=EC
∴∠CAE=∠ACE
∵∠CAE+∠CBA=∠ACE+∠ECB=90º
∴∠ECB=∠EBC
∴AE=EC=EB
2.∵DE⊥AC 且△ADC等边
∴点C和点A关于直线DE对称
∴点P在点E的时候PB+PC值最少
∵AE=EC=EB
∴CE+EB=AE+EB=15
∴当P与点E重合时PB+PC最短等于15
为什么是在点E的时候最短呢?我们反证一下,如果点P在点F的时候
PB+PC=CF+FB,因为CF=AF,所以PB+PC=AF+FB而AF,FB ,AB构成一个三角形AFB
三角形两边之和大于第三边,所以PB+PC=AF+FB>AB