求一类《近世代数》题目的答案,请至少给出一道详解过程,说明用到的知识点,好让我学会能解答类似题目.

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 05:33:10

这些全都是代数扩张,只要知道极小多项式的次数就行了.
先给答案
1.Q([2i+1]/[i-1])=Q(i)={a+ib|a,b \in Q}
2.Q(\sqrt{3},\sqrt{5})={a+\sqrt{3}b+\sqrt{5}c+\sqrt{15}d|a,b,c,d \in Q}
3.Q(\sqrt{2}+\sqrt{5})={a+\sqrt{2}b+\sqrt{5}c+\sqrt{10}d|a,b,c,d \in Q}
4.Q(\sqrt{2}+i)={a+\sqrt{2}b+ic+\sqrt{2}id|a,b,c,d \in Q}
5.Q(3i)=Q(i)={a+ib|a,b \in Q}
注意Q(x)是包含Q和x的最小的域,这里本质上是把这个域构造出来,然后验证这个确实是最小的.由于这里x都是代数数,如果其极小多项式的次数是n的话
Q(x)={a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1} | a_i \in Q}.
利用加法和乘法的封闭性可以知道右端这些数至少都要包含在Q(x)里,然后验证一下除法确实是封闭的就行了,这个你自己要会算.
1和5本质一样的,[2i+1]/[i-1]和3i都是有理复数,所以其实就是Q(i)={a+ib|a,b \in Q},这个如果不会问题就大了.换一个角度看就是说[2i+1]/[i-1]和3i都满足有理系数的2次多项式,写成Q(i)相当于是简化后的结果.
3和4的本质一样,但是比1和5略微复杂一点,因为\sqrt{2}+\sqrt{5}和\sqrt{2}+i的极小多项式都是4次的,我给的答案可以看作经过化简后的结果.
至于Q(\sqrt{3},\sqrt{5}),这个不是单扩张,不过可以用两次单扩张来完成,也就是说先做F=Q(\sqrt{3}),然后再做F(\sqrt{5}),同样,我给出的答案可以看作经过化简后的结果.
上面这些最麻烦的一定要会,然后才可以偷懒.这里2,3,4的形式是一样的,主要是因为\sqrt{a}和\sqrt{b}在有理数域上线性无关的时候可以预先估计出答案的形式,你最好自己动手,这样才能理解.
另外,如果碰到超越扩张的话,比如说Q(e),那么形式上就是有理函数而不是有限次多项式,即
Q(e) = {p(e)/q(e) | p,q是有理系数多项式,q非零}.

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