二重积分方法计算半径为R球体体积.要求就是用二重积分.

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 22:11:11

二重积分方法计算半径为R球体体积.要求就是用二重积分.
我是先用1/8球体先积分算体积,总体积是8*∫[R/0]dx∫[(R^2-x^2)½/0]（R^2-X^2-Y^2）½dy.结果总变成2/3πR³求解释错在哪.或按此法给个具体运算步骤.

令 y = √(R^2-x^2) sint , dy = √(R^2-x^2) cost dt, t : [ 0, π/2 ]
∫[R/0] dx ∫ [(R^2-x^2)½/0]（R^2-x^2-y^2)½ dy
= ∫[R/0] dx ∫ [ π/2 \ 0] ( R^2 - x^2) (cost)^2 dt
= ∫[R/0] ( R^2 - x^2) dx ∫ [ π/2 \ 0] (1+cos2t)/2 dt
= ( π/4) ∫[R/0] ( R^2 - x^2) dx
= ( π/4) * 2R^3 /3 = πR^3 /6
V = 8 * πR^3 /6 = 4πR^3 /3
再问： ∫[R/0] ( R^2 - x^2) dx = ∫[R/0] x^2dx =∫[R/0] 1/3dx^3=1/3R^3.为什么多了个2啊？
再答： ∫ ( R^2 - x^2) dx = R^2 * x - x^3 /3 + C ∫[R/0] ( R^2 - x^2) dx = R^3 - R^3 /3 = 2 R^3 /3

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