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已知函数f(x)与g(x)=aInx-x^2(a为常数)的图像关于直线x=1对称,且x=1是f(x)的一个极值点.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/14 08:37:03
已知函数f(x)与g(x)=aInx-x^2(a为常数)的图像关于直线x=1对称,且x=1是f(x)的一个极值点.
求函数f(x)的表达式和单调区间!
已知函数f(x)与g(x)=aInx-x^2(a为常数)的图像关于直线x=1对称,且x=1是f(x)的一个极值点.
设x=1-t;则t=1-x.
函数f(x)与g(x)的图像关于直线x=1对称,则
f(1-t)=g(1+t).
即f(x)=g(2-x)=aln(2-x)-(2-x)^2
则f'(x)=-a/(2-x)+2(2-x)
=a/(x-2)-2x+4
x=1是f(x)的一个极值点,∴f'(1)=a/(1-2)-2+4=-a+2=0
∴a=2
则f(x)=2ln(2-x)-(2-x)^2
f'(x)=2/(x-2)-2x+4
当f'(x)=0时,有
1/(x-2)-x+2=0
(x-2)^2=1
x-2=±1
x=1或3.
当0