神马作文网一道世界第一难的问题（数学）
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 08:38:30
一道世界第一难的问题（数学）
a、b、c均为正实数,ab+bc+ac=1,
求证：1/(a^2+1) +1/(b^2+1) +1/(c^2+1) ≤9/4
a、b、c均为正实数,ab+bc+ac=1,
求证：1/(a^2+1) +1/(b^2+1) +1/(c^2+1) ≤9/4
*(a+c)=1-ac,b=(1-ac)/(a+c),
1/(a^2+1) +1/(b^2+1) +1/(c^2+1)
= 1/(a^2+1) + (a+c)^2/[(a^2+1)*(c^2+1)] +1/(c^2+1)
= 2*(a^2+c^2+ac+1)/[(a^2+1)*(c^2+1)]
9*[(a^2+1)*(c^2+1)]-4*2*(a^2+c^2+ac+1)
=9a^2c^2 +9a^2+9c^2+9-8a^2-8c^2-8ac-8
=9a^2c^2 - 8ac+a^2+c^2+1
=(3ac-1)^2+(a-c)^2 ≥ 0 当且仅当 a=c,ac=1/3 时等号成立
所有9*[(a^2+1)*(c^2+1)] ≥ 4*2*(a^2+c^2+ac+1)
即2*(a^2+c^2+ac+1)/[(a^2+1)*(c^2+1)] ≤ 9/4
得证.
1/(a^2+1) +1/(b^2+1) +1/(c^2+1)
= 1/(a^2+1) + (a+c)^2/[(a^2+1)*(c^2+1)] +1/(c^2+1)
= 2*(a^2+c^2+ac+1)/[(a^2+1)*(c^2+1)]
9*[(a^2+1)*(c^2+1)]-4*2*(a^2+c^2+ac+1)
=9a^2c^2 +9a^2+9c^2+9-8a^2-8c^2-8ac-8
=9a^2c^2 - 8ac+a^2+c^2+1
=(3ac-1)^2+(a-c)^2 ≥ 0 当且仅当 a=c,ac=1/3 时等号成立
所有9*[(a^2+1)*(c^2+1)] ≥ 4*2*(a^2+c^2+ac+1)
即2*(a^2+c^2+ac+1)/[(a^2+1)*(c^2+1)] ≤ 9/4
得证.