神马作文网直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 23:58:14
直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
假设存在m值满足条件，
设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），
由
y＝mx+1
3x2−y2＝1得：（3-m2）x2-2mx-2=0，
则3-m2≠0，且△=4m2-4（3-m2）（-2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，
由韦达定理有：x1+x2＝
2m
3−m2，x1x2＝
−2
3−m2，
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即
OA•
OB＝0，即x1x2+y1y2=0，
所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，
所以（1+m2）•
−2
3−m2+m•
2m
3−m2+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），
由
y＝mx+1
3x2−y2＝1得：（3-m2）x2-2mx-2=0，
则3-m2≠0，且△=4m2-4（3-m2）（-2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，
由韦达定理有：x1+x2＝
2m
3−m2，x1x2＝
−2
3−m2，
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即
OA•
OB＝0，即x1x2+y1y2=0，
所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，
所以（1+m2）•
−2
3−m2+m•
2m
3−m2+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
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