设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 00:29:54
设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为 ___ .
由圆x2+y2=4的方程,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,
∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,
∴圆心到直线l的距离d=
r2-(
CD
2)2=
3,
∴圆心到直线l:mx+ny-1=0的距离d=
1
m2+n2=
3,
整理得:m2+n2=
1
3,
令直线l解析式中y=0,解得:x=
1
m,
∴A(
1
m,0),即OA=
1
|m|,
令x=0,解得:y=
1
n,
∴B(0,
1
n),即OB=
1
|n|,
∵m2+n2≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,
∴|mn|≤
m2+n2
2,
又△AOB为直角三角形,
∴S△ABC=
1
2OA•OB=
1
2|mn|≥
1
m2+n2=3,当且仅当|m|2=|n|2=
1
6时取等号,
则△AOB面积的最小值为3.
故答案为:3.
∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,
∴圆心到直线l的距离d=
r2-(
CD
2)2=
3,
∴圆心到直线l:mx+ny-1=0的距离d=
1
m2+n2=
3,
整理得:m2+n2=
1
3,
令直线l解析式中y=0,解得:x=
1
m,
∴A(
1
m,0),即OA=
1
|m|,
令x=0,解得:y=
1
n,
∴B(0,
1
n),即OB=
1
|n|,
∵m2+n2≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,
∴|mn|≤
m2+n2
2,
又△AOB为直角三角形,
∴S△ABC=
1
2OA•OB=
1
2|mn|≥
1
m2+n2=3,当且仅当|m|2=|n|2=
1
6时取等号,
则△AOB面积的最小值为3.
故答案为:3.
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