证明:S3为最小的非交换群.分三步证明:1、素数阶群微循环群 2、4阶群为交换群 3、S3非交换
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 03:26:22
证明:S3为最小的非交换群.分三步证明:1、素数阶群微循环群 2、4阶群为交换群 3、S3非交换
1、设群G为p阶群,p为素数
任意a∈G,为由a生成的群,包含于G
由lagrange定理可得|| 整除|G|=p为素数
那么||=1或p
||=1表示只有一个元素a=1
||=p=|G|,那么=G
所以那么G就是循环群,那么G也是交换群
2、设4阶群G={1,a,b,c}
那么G中元素的借只能为1、2、4
(1)若G有4阶元,设为a^4=1,那么b、c只能是a^2,a^3
那么G={1,a,a^2,a^3}=
G为循环群,那么也就是交换群
(2)若G没有4阶元,那么只能是a^2=1 b^2=1 c^2=1
a^-1(a的逆)=a b^-1=b
那么ab∈G,那么也是2阶元
所以ab*ab=1,a^-1*ab*ab*b^-1=a^-1*b^-1
ba=a^-1*b^-1=ab
所以G交换
(3)S3为3阶对称群,有6个元素为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
而可以发现
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 * 2 3 1= 3 2 1
而
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 * 1 3 2= 2 1 3
所以S3不是交换群
综上:
1、2阶群显然是交换的
3、5、7阶群由(1)也知是交换群
4阶群由(2)秩是交换群
而6阶群S3非交换,所以S3是最小非交换群
任意a∈G,为由a生成的群,包含于G
由lagrange定理可得|| 整除|G|=p为素数
那么||=1或p
||=1表示只有一个元素a=1
||=p=|G|,那么=G
所以那么G就是循环群,那么G也是交换群
2、设4阶群G={1,a,b,c}
那么G中元素的借只能为1、2、4
(1)若G有4阶元,设为a^4=1,那么b、c只能是a^2,a^3
那么G={1,a,a^2,a^3}=
G为循环群,那么也就是交换群
(2)若G没有4阶元,那么只能是a^2=1 b^2=1 c^2=1
a^-1(a的逆)=a b^-1=b
那么ab∈G,那么也是2阶元
所以ab*ab=1,a^-1*ab*ab*b^-1=a^-1*b^-1
ba=a^-1*b^-1=ab
所以G交换
(3)S3为3阶对称群,有6个元素为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
而可以发现
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 * 2 3 1= 3 2 1
而
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 * 1 3 2= 2 1 3
所以S3不是交换群
综上:
1、2阶群显然是交换的
3、5、7阶群由(1)也知是交换群
4阶群由(2)秩是交换群
而6阶群S3非交换,所以S3是最小非交换群
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交换,
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