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数学上,高斯消元法（或译：高斯消去法）,是线性代数中的一个算法,可用来为线性方程组求解,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵.当用于一个矩阵时,高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”.高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数.不过,如果有过百万条等式时,这个算法会十分费时.一些极大的方程组通常会用叠代法来解决.亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组.
　高斯消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：
　　2x + y - z = 8 (L1)
　　-3x - y + 2z = -11 (L2)
　　-2x + y + 2z = -3 (L3)
　　这个算法的原理是：
　　首先,要将L1 以下的等式中的x 消除,然后再将L2 以下的等式中的y 消除.这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式.之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中,就可求出其余的答案了.
　　在刚才的例子中,我们将3/2 L1和L2相加,就可以将L2 中的x 消除了.然后再将L1 和L3相加,就可以将L3 中的x 消除.
　　我们可以这样写：
　　L2 + 3/2 L1→ L2
　　L3 + L1 → L3
　　结果就是：
　　2x + y - z = 8
　　1/2 y + 1/2 z = 1
　　2y + z = 5
　　现在将 − 4L2 和L3 相加,就可将L3 中的y 消除：
　　L3 + -4 L2 → L3
　　其结果是：
　　2x + y - z = 8
　　1/2y + 1/2z = 1
　　-z = 1
　　这样就完成了整个算法的初步,一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了.
　　第二步,就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数.第一个答案就是：
　　z = -1
　　然后就可以将z 代入L2 中,立即就可得出第二个答案：
　　y = 3
　　之后,将z 和y 代入L1 之中,最后一个答案就出来了：
　　x = 2
　　就是这样,这个方程组就被高斯消元法解决了.
　　这种算法可以用来解决所有线性方程组.即使一个方程组不能被化为一个三角形的格式,高斯消元法仍可找出它的解.例如在第一步化简后,L2 及L3 中没有出现任何y ,没有三角形的格式,照着高斯消元法而产生的格式仍是一个行梯阵式.这情况之下,这个方程组会有超过一个解,当中会有至少一个变量作为答案.每当变量被锁定,就会出现一个解.
　　通常人或电脑在应用高斯消元法的时候,不会直接写出方程组的等式来消去未知数,反而会使用矩阵来计算.以下就是使用矩阵来计算的例子：
　　2 1 -1 8
　　-3 -1 2 -11
　　-2 1 2 -3
　　跟着以上的方法来运算,这个矩阵可以转变为以下的样子：
　　2 1 -1 8
　　0 1/2 1/2 1
　　0 0 -1 1
　　这矩阵叫做“行梯阵式”.
　　最后,可以利用同样的算法产生以下的矩阵,便可把所得出的解或其限制简明地表示出来：
　　1 0 0 2
　　0 1 0 3
　　0 0 1 -1
　　最后这矩阵叫做“简化行梯阵式”,亦是高斯－约当消元法指定的步骤.