已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 17:27:41
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果存在,求出m、n的值,如果不存在,说明理由.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果存在,求出m、n的值,如果不存在,说明理由.
(1)∵f(x)满足f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称.
而二次函数f(x)的对称轴为x=-
b
2a,∴-
b
2a=1.①
又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,∴△=(b-1)2=0.②
由①,②得 b=1,a=-
1
2.∴f(x)=-
1
2x2+x.
(2)∵f(x)=-
1
2x2+x=-
1
2(x-1)2+
1
2≤
1
2.
如果存在满足要求的m,n,则必需3n≤
1
2,∴n≤
1
6.
从而m<n≤
1
6<1,而x≤1,f(x)单调递增,
∴
f(m)=−
1
2m2+m=3m
f(n)=−
1
2n2+n=3n,
可解得m=-4,n=0满足要求.
∴存在m=-4,n=0满足要求.
而二次函数f(x)的对称轴为x=-
b
2a,∴-
b
2a=1.①
又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,∴△=(b-1)2=0.②
由①,②得 b=1,a=-
1
2.∴f(x)=-
1
2x2+x.
(2)∵f(x)=-
1
2x2+x=-
1
2(x-1)2+
1
2≤
1
2.
如果存在满足要求的m,n,则必需3n≤
1
2,∴n≤
1
6.
从而m<n≤
1
6<1,而x≤1,f(x)单调递增,
∴
f(m)=−
1
2m2+m=3m
f(n)=−
1
2n2+n=3n,
可解得m=-4,n=0满足要求.
∴存在m=-4,n=0满足要求.
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x+1)=f(1-x)且方程f(x)=x有等根
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常数且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(2)=0,且方程f(x)=,x有等根.
二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(2)=2,且方程f(x)=x有等根.
已知二次函数f(x)=ax平方+bx(a,b为常数,且a不等于0)满足条件f(x+1)=f(1-x)且方程f(x)=x有
已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),且方程f
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a不等于0)满足条件;f(2)=0且方程f(x)=x有等根,
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为实常数,且a≠0),满足条件f(0)=f(2)=0,且方程f(x)
(好难)已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)
已知二次函数f(x)=ax平方+bx(a,b为常数,且a不等于0)满足条件f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x
已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(2)=0且方程f(x)=x有等根