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如图,△ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,∠EBC=12∠BAC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,交EB于点F.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 10:47:23
如图,△ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,∠EBC=
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如图,△ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,∠EBC=12∠BAC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,交EB于点F.
(1)证明:连接AF.
∵AB为直径,
∴∠AFB=90°.
∵AE=AB,
∴△ABE为等腰三角形.
∴∠BAF=
1
2∠BAC.
∵∠EBC=
1
2∠BAC,
∴∠BAF=∠EBC,
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.
∴∠ABC=90°.
即AB⊥BC,
∴BC与⊙O相切.
(2)过E作EG⊥BC于点G,
∵∠BAF=∠EBC,
∴sin∠BAF=sin∠EBC=
1
4.
在△AFB中,∠AFB=90°,
∵AB=8,
∴BF=AB•sin∠BAF=8×
1
4=2,
∴BE=2BF=4.
在△EGB中,∠EGB=90°,
∴EG=BE•sin∠EBC=4×
1
4=1,
∵EG⊥BC,AB⊥BC,
∴EG∥AB,
∴△CEG∽△CAB,

CE
CA=
EG
AB.

CE
CE+8=
1
8,
∴CE=
8
7,
∴AC=AE+CE=8+
8
7=
64
7.