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已知P为圆x 2 +y 2 =4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，

来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 00:20:17
已知P为圆x 2 +y 2 =4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点E（0，2）的直线l与曲线C交于A、B两点，若点O在以AB为直径的圆上或圆外（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。
已知P为圆x 2 +y 2 =4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，
（1）设M（x，y），则P（x，2y），
∵点P在圆x 2 +y 2 =4上，
∴x 2 +（2y） 2 =4，
所以点M的轨迹C的方程为 +y 2 =1；
（2）依题意，显然l的斜率存在，设l：y=kx+2，
由方程组 ，消y得（1+4k 2 ）x 2 +16kx+12=0，
∵直线l与C有两交点，
∴△=（16k） 2 -4×12·（1+4k 2 ）＞0，解得k 2 ＞ ，
且x A +x B = ，x A ·x B = ；
又∠AOB为直角或锐角，x A ·x B +y A ·y B ≥0，
即x A ·x B +（kx A +2）（kx B +2）≥0，
（1+k 2 ）x A ·x B +2k（x A +x B ）+4≥0，
所以（1+k 2 ） -2k +4≥0，解得k 2 ≤4，
故直线l的斜率k的取值范围是k∈ 。
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