求证:任意9个自然数中必有5个,它们的和是5的倍数

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 16:04:11

求证:任意9个自然数中必有5个,它们的和是5的倍数
哈,原题是求证1999个中必存在1000个,使得和为1000倍数.
1000=2^3*5^3,我化简成了如题.
如果这个能证出,原题就OK了.

我的方法有些麻烦,应该还有更好的方法,暂且为lz写上
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设这9个数为a1,a2,...,a9.现在反设这9个数中任何5个之和都不是5的倍数
那么,他们被5除的余数不可能遍历0,1,2,3,4(否则加起来就能被5整除了).换句话说,这9个数被5除的余数最多只能有4种取值.根据抽屉原理,9个数中必然存在三个数被5除余数相同.不妨设是a7,a8,a9.他们被5除余r
现考察新数组bi=ai-r(i=1,2,...,9)
则显然b7,b8,b9都被5整除,且对b1,b2,...,b9这9个数而言,仍满足：任何5个之和都不是5的倍数.(否则对应的ai之和就是5的倍数了)
现在b1,b2,...,b6中最多只有1个5的倍数,所以不妨设b1,b2,...,b5都不被5整除.根据抽屉原理,其中必有2个数被5除余数相同.不妨设是b1,b2.被5除余数为k
若k=1,则b3,b4,b5被5除都不能余3也不能余4,所以只能余1或2了.易见全1,1个1 2个2,2个1 1个2,全2这4种情况中的任何一种的都导致矛盾!
同理可证若k=2,3,4,也将导致矛盾!
所以,反设不成立,命题得证
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to 随云公子：我不生气,但是觉得可笑,你连我的证明方法都没看明白就妄加品论.我把这9个数每个数都减去了r,又不只是那3个数减去r.所以a1+a2+a3+a4+a5被5整除与否与b1+b2+b3+b4+b5被5整除与否是等价的.懂么?
lz说得没错,要证明1000的情况就只要证明2,5的情况就行了.推广到任意n也是没问题的,单樽在他1983年的一篇论文《初等数论中的一个猜测》中已经证明了这件事情,lz可以去搜搜这篇论文来看.

证明:在任意的5个自然数,必有3个数,它们的和是3的倍数证明:在任意的5个自然数,必有3个数,它们的和是3的倍数. 有5个不同的自然数,它们当中任意3个数的和是3的倍数, 有4个不同的非零自然数,它们当中任意两个数的和是2的倍数;任意三个数的和是3的倍任意5个自然数其中必有3个数的和是3的倍数,这是为什么为什么在任意6个自然数中至少有两个的差是5的倍数? 证明：在任取的5个自然数中,必有3个数,它们的和是3的倍数 5个不同的自然数,任意三个相加是3的倍数,任意4个相加是4的倍数,请问：求证:任意6个整数中必有两个数的差是5的倍数. 任意取6个自然数,其中至少有两个自然数的差是5的倍数,请说明理由. 有4个不同的自然数,它们当中任意两数的和是2的倍数；任意3个数的和是3的倍数,为了使得这4个数的和尽现有5个自然数,计算其中任意3个数的和,得到了10个不同的自然数,它们是：15,16,18,19,21,22,23,26