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n阶方正A不是零矩阵 A的m次方为零 若方正AB=BA 证明丨A+B丨=丨B丨

来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 08:36:46
n阶方正A不是零矩阵 A的m次方为零 若方正AB=BA 证明丨A+B丨=丨B丨
如题
n阶方正A不是零矩阵 A的m次方为零 若方正AB=BA 证明丨A+B丨=丨B丨
设A的舒尔分解为A=QtDQ,其中Q是酉矩阵,D是上三角阵,Qt表示Q的共轭转置,则考虑C=QBQt,即QtCQ=B,由AB=BA,得QtDQQtCQ=QtCQQtDQ,即DC=CD,由于D是上三角的,和上三角矩阵可交换的矩阵一定也是上三角阵,从而C也是上三角阵,这说明B=QtCQ也是一个舒尔分解.由于A^m=O,从而A的极小多项式的根即A的特征值全为0,从而D的主对角线元素（A的特征值）都是0,因此,|A+B|=|Q||A+B||Qt|=|D+C|,由上D+C也是上三角阵,其对角线元素就是C的对角线元素,因此|D+C|=D+C的对角线元素的乘积=C的对角线元素的乘积=|C|=|B|,得证.
设n阶方正A,B乘积AB为可逆矩阵,证明A,B都是可逆矩阵 设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明：AB和BA有相同的非零特征值. 矩阵证明若AB=BA 则·(AB)的n次方=A的n次方*B的n次方 AB均为平方矩阵 |A|=0,A为n阶矩阵,求证：存在非零方阵B,使得AB=BA=0 若A、B是两个n阶矩阵,试证明AB-BA的对角线上的元素之和比为零 4、设A是m×n矩阵,若存在非零的n×s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)﹤n. 设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A) A,B为n阶矩阵且A+B=E,证明AB=BA A,B均为n阶矩阵,AB=BA,证明：r(A+B) 【急】设A为n阶矩阵,证明A的行列式=0,且存在非零n阶矩阵B时,AB=0 A,B为n阶方阵,A的行列式不为零,证明AB与BA相似 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.