为什么某点二阶导存在能够说明一阶导在该点领域连续,而一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续?
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 12:35:25
为什么某点二阶导存在能够说明一阶导在该点领域连续,而一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续?
我看到很多解释:因为二阶导的定义用到一阶导,所以一阶导在该点连续.那么同样的一阶导在该点存在,为什么就不能说明原函数在该点领域连续呢?例子什么的我都明白,就是搞不清这个逻辑,
如果一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续那么是不是,二阶导存在也不能够说明一阶导在该点领域连续呢?
我看到很多解释:因为二阶导的定义用到一阶导,所以一阶导在该点连续.那么同样的一阶导在该点存在,为什么就不能说明原函数在该点领域连续呢?例子什么的我都明白,就是搞不清这个逻辑,
如果一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续那么是不是,二阶导存在也不能够说明一阶导在该点领域连续呢?
我个人认为你有道理.
设f''(x0)=lim[f'(x)-f'(x0)]/(x-x0)存在,于是lim[f'(x)-f'(x0)]=0
上式仅仅说明f'(x)在x=0连续,当然可以说明f(x)在x=0的某个邻域连续.但f‘(x)在x=0的某个邻域连续的理由不充分.
这样一来:一阶导数存在,不能说明在该点邻域原函数连续
我认为在某点二阶导存在,那么一阶导在该点领域连续有问题.
暂且这样认为,我抽时间仔细想想.
再问: 是的,我也这么认为,而且我还特意买了两本参考书,书上并没有说f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在,他还提到如果在某点三阶可导,运用罗比达法则的时候一阶、二阶可以三阶就要用定义,那么如果仅仅只是说f‘(x)在邻域存在,而罗比达不是要求领域是可导的吗?如果邻域可导不就说邻域连续吗?这又跟f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在违背了。。。啊,纠结啊,谁来救救我!
再答: 我想了下,前面我的回答是对的,即:在某点二阶导存在,不能确定一阶导在该点领邻域连续。 但你举的例子不完全说明问题:设f(x)在某点三阶可导,对于具体的函数,可以求出一阶、二阶并可判断是否连续。但对于涉及抽象的函数,用一次罗比达法则没问题,但用两次罗比达法则就有点问题。
再问: 我今天也好好研究了一下,我觉得f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说明f‘(x)在邻域导数是存在的,并不能证明连续。洛必达也可以用两次,因为求f'(x)可以用一次,然后可以再用一次求f'‘(x),因为f(x)领域可导与f'(x)领域也是可导的。
设f''(x0)=lim[f'(x)-f'(x0)]/(x-x0)存在,于是lim[f'(x)-f'(x0)]=0
上式仅仅说明f'(x)在x=0连续,当然可以说明f(x)在x=0的某个邻域连续.但f‘(x)在x=0的某个邻域连续的理由不充分.
这样一来:一阶导数存在,不能说明在该点邻域原函数连续
我认为在某点二阶导存在,那么一阶导在该点领域连续有问题.
暂且这样认为,我抽时间仔细想想.
再问: 是的,我也这么认为,而且我还特意买了两本参考书,书上并没有说f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在,他还提到如果在某点三阶可导,运用罗比达法则的时候一阶、二阶可以三阶就要用定义,那么如果仅仅只是说f‘(x)在邻域存在,而罗比达不是要求领域是可导的吗?如果邻域可导不就说邻域连续吗?这又跟f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在违背了。。。啊,纠结啊,谁来救救我!
再答: 我想了下,前面我的回答是对的,即:在某点二阶导存在,不能确定一阶导在该点领邻域连续。 但你举的例子不完全说明问题:设f(x)在某点三阶可导,对于具体的函数,可以求出一阶、二阶并可判断是否连续。但对于涉及抽象的函数,用一次罗比达法则没问题,但用两次罗比达法则就有点问题。
再问: 我今天也好好研究了一下,我觉得f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说明f‘(x)在邻域导数是存在的,并不能证明连续。洛必达也可以用两次,因为求f'(x)可以用一次,然后可以再用一次求f'‘(x),因为f(x)领域可导与f'(x)领域也是可导的。
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