神马作文网高数一道积分题目x^3*根号（2+x^2)积分,x从0到1
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 21:03:59
高数一道积分题目
x^3*根号（2+x^2)积分,x从0到1
x^3*根号（2+x^2)积分,x从0到1
∫(0→1) x^3*√(2+x^2) dx
=1/2*∫(0→1) x^2*√(2+x^2) d(x^2)
=1/2*∫(0→1) t*√(2+t) dt (令t=x^2)
=1/2*∫(0→1) (t+2-2)*√(2+t) dt
=1/2*∫(0→1) [(t+2)*√(2+t)－2*√(2+t)] dt
=1/2*∫(0→1) [(t+2)^(3/2)－2*(2+t)^(1/2)] d(2+t)
=1/2*(0→1) [2/5*(t+2)^(5/2)－4/3*(2+t)^(3/2)+C]
=1/2*[2/5*3^(5/2)－4/3*3^(3/2)－2/5*2^(5/2)＋4/3*2^(3/2)]
=(8√2-3√3)/15
=1/2*∫(0→1) x^2*√(2+x^2) d(x^2)
=1/2*∫(0→1) t*√(2+t) dt (令t=x^2)
=1/2*∫(0→1) (t+2-2)*√(2+t) dt
=1/2*∫(0→1) [(t+2)*√(2+t)－2*√(2+t)] dt
=1/2*∫(0→1) [(t+2)^(3/2)－2*(2+t)^(1/2)] d(2+t)
=1/2*(0→1) [2/5*(t+2)^(5/2)－4/3*(2+t)^(3/2)+C]
=1/2*[2/5*3^(5/2)－4/3*3^(3/2)－2/5*2^(5/2)＋4/3*2^(3/2)]
=(8√2-3√3)/15
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