神马作文网几何平均数不小于算术平均数证明,证三个数的就行,不能用局部变动法
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/14 02:25:28
几何平均数不小于算术平均数证明,证三个数的就行,不能用局部变动法
应该是：几何平均数“不大于”算术平均数.
设 a>0,b>0,c>0,并且假定已经证明了2个正数的几何平均数不大于算术平均数.
容易验证 a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
∵a>0,b>0,c>0,∴ a+b+c>0
又 2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=(a²+b²-2ab)+(b²+c²-2bc+(c²+a²-2ca)≥0
∴ a²+b²+c²-ab-bc-ca≥0
故 (a³+b³+c³)/3≥abc
把a³换做a,b³换做b,c³换做c 即得到：
三次根号下abc≤(a+b+c)/3
证毕
设 a>0,b>0,c>0,并且假定已经证明了2个正数的几何平均数不大于算术平均数.
容易验证 a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
∵a>0,b>0,c>0,∴ a+b+c>0
又 2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=(a²+b²-2ab)+(b²+c²-2bc+(c²+a²-2ca)≥0
∴ a²+b²+c²-ab-bc-ca≥0
故 (a³+b³+c³)/3≥abc
把a³换做a,b³换做b,c³换做c 即得到：
三次根号下abc≤(a+b+c)/3
证毕