神马作文网求解一道空间向量 急!天津2010文科数学第19题的图 图片粘不过来了
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 22:46:55
求解一道空间向量 急!天津2010文科数学第19题的图 图片粘不过来了
如图,在五面体 中,四边形 是正方形, ⊥平面 , ∥ , =1, ,∠ =∠ =45°.
(Ⅰ)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(Ⅱ)证明 ⊥平面 ；
(Ⅲ)求二面角 的正切值.
第三小题用空间向量怎么解?我接出来一个面地法向量为（0,0,0）做了好久 仍旧不对 急啊!
如图,在五面体 中,四边形 是正方形, ⊥平面 , ∥ , =1, ,∠ =∠ =45°.
(Ⅰ)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(Ⅱ)证明 ⊥平面 ；
(Ⅲ)求二面角 的正切值.
第三小题用空间向量怎么解?我接出来一个面地法向量为（0,0,0）做了好久 仍旧不对 急啊!
（1）
∵四边形ADEF是正方形,
∴FA//ED
∴∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
∵FA⊥平面ABCD,
∴FA⊥CD.故ED⊥CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=2根号2,CE=根号（CD^2+ED^2)=3
故COS∠CED=ED/CE=2根号2/3
∴异面直线CE和AF所成角的余弦值为2根号2/3
（2）
(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G,
则∠BGA=∠CDA=45°.
由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,
从而CD⊥AB.
又CD⊥FA,FA∩AB=A,
所以CD⊥平面ABF.
（3）
由(2)及已知,可得AG=根号2,
即G为AD的中点.
取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF
∵BC//AD
∴BC//EF.
过点N作NM⊥EF,交BC于M,则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.
连接GM,可得AD⊥平面GNM
故AD⊥GM.从而BC⊥GM.
由已知,可得GM=根号2/2.
由NG//FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.
在Rt△NGM中,tan∠GNM=GM/NG=1/4
∴二面角B-EF-A的正切值为1/4
∵四边形ADEF是正方形,
∴FA//ED
∴∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
∵FA⊥平面ABCD,
∴FA⊥CD.故ED⊥CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=2根号2,CE=根号（CD^2+ED^2)=3
故COS∠CED=ED/CE=2根号2/3
∴异面直线CE和AF所成角的余弦值为2根号2/3
（2）
(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G,
则∠BGA=∠CDA=45°.
由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,
从而CD⊥AB.
又CD⊥FA,FA∩AB=A,
所以CD⊥平面ABF.
（3）
由(2)及已知,可得AG=根号2,
即G为AD的中点.
取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF
∵BC//AD
∴BC//EF.
过点N作NM⊥EF,交BC于M,则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.
连接GM,可得AD⊥平面GNM
故AD⊥GM.从而BC⊥GM.
由已知,可得GM=根号2/2.
由NG//FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.
在Rt△NGM中,tan∠GNM=GM/NG=1/4
∴二面角B-EF-A的正切值为1/4