已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=2x-x^2,问是否存在这样的正数a、b,当x∈[a,b]时,
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/01 04:29:00
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=2x-x^2,问是否存在这样的正数a、b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[1/b,1/a]?若存在,求出a、b的值,若不存在,说明理由.
当x∈[a,b]时,g(x)=f(x)=2x-x^2=-(x-1)^2+1≤1,
由于g(x)的值域为[1/b,1/a]是闭区间,则可知1/a=1;
a=1.
而f(x)=-(x-1)^2+1的对称轴是x=1;当x>1时单调递减;故可知f(b)=1/b;
则 2b-b^2=1/b
→b^3-2b^2 +1 =0
显然b=1是一个根,但b不能等于a.
则用式除法求得:
(b^3-2b^2 +1)÷(b-1) =b^2-b-1
则b^2-b-1=0.
解得b=(1+√5)/2
由于g(x)的值域为[1/b,1/a]是闭区间,则可知1/a=1;
a=1.
而f(x)=-(x-1)^2+1的对称轴是x=1;当x>1时单调递减;故可知f(b)=1/b;
则 2b-b^2=1/b
→b^3-2b^2 +1 =0
显然b=1是一个根,但b不能等于a.
则用式除法求得:
(b^3-2b^2 +1)÷(b-1) =b^2-b-1
则b^2-b-1=0.
解得b=(1+√5)/2
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