已知二次函数y=f(x),满足f(-2)=f(0)=0,且f(x)的最小值为-1.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 14:30:47
已知二次函数y=f(x),满足f(-2)=f(0)=0,且f(x)的最小值为-1.
(1)若函数y=F(x),x∈R为奇函数,当x>0时,F(x)=f(x),求函数y=F(x),x∈R的解析式;
(2)设g(x)=f(-x)-λf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数λ的取值范围.
(1)若函数y=F(x),x∈R为奇函数,当x>0时,F(x)=f(x),求函数y=F(x),x∈R的解析式;
(2)设g(x)=f(-x)-λf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数λ的取值范围.
(1)∵f(-2)=f(0)=0,
∴函数的对称轴x=-1
∵f(x)的最小值为-1.
由题意可设f(x)=a(x+1)2-1
∵f(0)=a-1=0
∴a=1
∴f(x)=x2+2x
∵y=F(x)为奇函数,
∴F(0)=0
∵当x>0时,F(x)=f(x)=x2+2x
∴x<0时,-x>0
∴F(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x
∴F(x)=-F(-x)=-x2+2x
F(x)=
x2+2x,x>0
0,x=0
−x2+2x,x<0
(2)∵g(x)=f(-x)-λf(x)+1=x2-2x-λ(x2+2x)+1
=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1
若g(x)在[-1,1]上是减函数
①若1-λ=0即λ=1时,g(x)=-4x+1在[-1,1]上单调递减,满足题意
②若1-λ<0即λ>1时,g(x)=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1是开口向下的抛物线,对称轴x=
1+λ
1−λ
则由题意可得
1+λ
1−λ≤−1
∴λ>1满足题意
③若1-λ>0即λ<1时,g(x)=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1是开口向上的抛物线,对称轴x=
1+λ
1−λ
∴
1+λ
1−λ≥1
∴0≤λ<1
综上可得,λ≥0
再问: 结果呢?
∴函数的对称轴x=-1
∵f(x)的最小值为-1.
由题意可设f(x)=a(x+1)2-1
∵f(0)=a-1=0
∴a=1
∴f(x)=x2+2x
∵y=F(x)为奇函数,
∴F(0)=0
∵当x>0时,F(x)=f(x)=x2+2x
∴x<0时,-x>0
∴F(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x
∴F(x)=-F(-x)=-x2+2x
F(x)=
x2+2x,x>0
0,x=0
−x2+2x,x<0
(2)∵g(x)=f(-x)-λf(x)+1=x2-2x-λ(x2+2x)+1
=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1
若g(x)在[-1,1]上是减函数
①若1-λ=0即λ=1时,g(x)=-4x+1在[-1,1]上单调递减,满足题意
②若1-λ<0即λ>1时,g(x)=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1是开口向下的抛物线,对称轴x=
1+λ
1−λ
则由题意可得
1+λ
1−λ≤−1
∴λ>1满足题意
③若1-λ>0即λ<1时,g(x)=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1是开口向上的抛物线,对称轴x=
1+λ
1−λ
∴
1+λ
1−λ≥1
∴0≤λ<1
综上可得,λ≥0
再问: 结果呢?
已知二次函数y=f(x),满足f(-2)=f(0)=0,且f(x)的最小值为-1
已知二次函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且图象在y轴上的截距为0,最小值为-1,求函数f(x)的解析式.
已知二次函数y=f(x),满足f(-2)=f(0)=0,且f(x)的最小值为-1
.已知二次函数f(x)在定义域(0,∞)上位增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y).f(2)=1
已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求y=f(x2-2)的值域.
已知二次函数f[x]满足f[2-x]=f[2+x],且图像在y轴上截距为0,最小值为负一,求f[x]
已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,求f(x).
已知二次函数 f (x ) 满足 f (2 - x) = f (2 + x ) ,且图象在 y 轴上的截距为 0,最小值
已知二次函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且图像在y轴上截距为0,最小值为-1,求f(x)的解析式 因为f(
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1.且f(x)的最大值为8,求二次函数的解析式.
已知二次函数y=f(x)的图像过点(0,1),且满足条件f(x+1)-f(x)=2x.(1) 求二次函数y=f(x)的解
已知二次函数f(x)=x2+bx+c满足:f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.