神马作文网考研数学证明题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/30 03:31:48
考研数学证明题
大哥,都考研了,别忘了高中的东西啊.我写一下.
取对数那么就是要证明b^alna>a^blnb,两边都是正数,可以再取对
得到alnbln(lna)>blnaln(lnb)
如果a≥e≥b,左非负右非正,显然
如果a>b>e,除一下[aln(lna)]/lna>[bln(lnb)]/lnb(a=e>b,左零右负,a>e=b,左正右零,显然)
设f(x)=xln(lnx)]/lnx(x>e),f'(x)=[ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)]/(lnx)^2,lnx>1,ln(lnx)>0,ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)≥0+1=1,导数恒正,f(x)递增,f(a)>f(b)
e≥a>b时,除一下还是[aln(lna)]/lna>[bln(lnb)]/lnb
设f(x)=xln(lnx)]/lnx(1
再问： b^alna>a^blnb 到 alnbln(lna)>blnaln(lnb) 好像不对呀！ 应该是：alnb+ln(lna)>blna+ln(lnb)
再答： 好像是喔。。 那就f(x)=xlnb+ln(lnx)-blnx-ln(lnb) 只需证f'(x)在(b,+无穷)>0 f'(x)=lnb+1/(x*lnlnx)-b/x=xlnxlnb+1-blnx（分母恒正，忽略了） 当x>=b/lnb>=e (blnb>=e对b>1恒成立，可求导证明) 时，x*lnb>b*lnx(设g(x)=x*lnb-b*lnx，g'(x)=lnb-b/x>=0，f'(x)( 的分子)>=xlnb+1-blnx>=1 当b/lnb>x>b>1时，f'(x)(的分子)>=lnx(x*lnb-1)+1，不太显然。。再求一次导(仅对分子)f''(x)=xlnb+lnb-b/x>blnb+lnb-lnb=blnb>0 所以f'(x)(的分子)>=f'(b)(的分子)=lnb(blnb-1)+1>blnb-1+1(b/lnb>x>b推出lnb0 哎。。好无赖的方法。。反正结论就摆在那里。。怎么绕都能绕过去。。你再看看有没有错。。
取对数那么就是要证明b^alna>a^blnb,两边都是正数,可以再取对
得到alnbln(lna)>blnaln(lnb)
如果a≥e≥b,左非负右非正,显然
如果a>b>e,除一下[aln(lna)]/lna>[bln(lnb)]/lnb(a=e>b,左零右负,a>e=b,左正右零,显然)
设f(x)=xln(lnx)]/lnx(x>e),f'(x)=[ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)]/(lnx)^2,lnx>1,ln(lnx)>0,ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)≥0+1=1,导数恒正,f(x)递增,f(a)>f(b)
e≥a>b时,除一下还是[aln(lna)]/lna>[bln(lnb)]/lnb
设f(x)=xln(lnx)]/lnx(1
再问： b^alna>a^blnb 到 alnbln(lna)>blnaln(lnb) 好像不对呀！ 应该是：alnb+ln(lna)>blna+ln(lnb)
再答： 好像是喔。。 那就f(x)=xlnb+ln(lnx)-blnx-ln(lnb) 只需证f'(x)在(b,+无穷)>0 f'(x)=lnb+1/(x*lnlnx)-b/x=xlnxlnb+1-blnx（分母恒正，忽略了） 当x>=b/lnb>=e (blnb>=e对b>1恒成立，可求导证明) 时，x*lnb>b*lnx(设g(x)=x*lnb-b*lnx，g'(x)=lnb-b/x>=0，f'(x)( 的分子)>=xlnb+1-blnx>=1 当b/lnb>x>b>1时，f'(x)(的分子)>=lnx(x*lnb-1)+1，不太显然。。再求一次导(仅对分子)f''(x)=xlnb+lnb-b/x>blnb+lnb-lnb=blnb>0 所以f'(x)(的分子)>=f'(b)(的分子)=lnb(blnb-1)+1>blnb-1+1(b/lnb>x>b推出lnb0 哎。。好无赖的方法。。反正结论就摆在那里。。怎么绕都能绕过去。。你再看看有没有错。。