（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP,过

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 17:40:07

（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ,交y轴于点M．作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．
（1）如图1,当m=
2时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标；
（2）如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．

(1)①把x=√2代入 y=x^2,得 y=2,∴P（√2,2）,∴OP=√6
∵PA⊥x轴,∴PA//MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA=OP/AP=√2/2．
②设 Q（n,n^2）,∵tan∠QOB=tan∠POM,
(n^2)/(-n)=√2/2
n=-√2/2
∴Q(-√2/2,1/2)
∴OQ=√3、2．
当 OQ=OC 时,则C1（0,√3/2）,C2（0,-√3/2）；
当 OQ=CQ 时,则 C3（0,1）．
(2)
①∵P（m,m^2）,设 Q（n,n^2）
∵△APO∽△BOQ,∴BQ/AO=BO/AP
∴n^2/m=(-n)/m^2,得n=-1/m,∴Q(-1/m,1/m^2)
②设直线PO的解析式为：y=kx+b,把P（m,m^2）、Q(-1/m,1/m^2)代入,得：
m^2=mk+b (1)
1/m^2=-k/m+b (2)
联立解得b=1,∴M（0,1）
∵QB/MO=OB/AO=1/m^2,∠QBO=∠MOA=90°
∴△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB,
∴QO∥MA
同理可证：EM∥OD
又∵∠EOD=90°,
∴四边形ODME是矩形．