直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1交与A、B两点 ,k为何值时OA垂直OB,此时︳AB︳是多少
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 04:31:07
直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1交与A、B两点 ,k为何值时OA垂直OB,此时︳AB︳是多少
∵A、B是直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1的交点,∴A、B都在直线y=kx+1上,
∴可令A的坐标为(a,ka+1),B的坐标为(b,kb+1).
联立y=kx+1、x^2+y^2/4=1,消去y,得:x^2+(kx+1)^2/4=1,
∴4x^2+(k^2x^2+2kx+1)=4,∴(4+k^2)x^2+2kx-3=0.
显然,a、b是方程(4+k^2)x^2+2kx-3=0的两根,由韦达定理,有:
a+b=-2k/(4+k^2)、 ab=-3/(4+k^2).
OA的斜率=(ka+1)/a, OB的斜率=(kb+1)/b.
∵OA⊥OB,∴[(ka+1)/a][(kb+1)/b]=-1,
∴(ka+1)(kb+1)=-ab, ∴k^2ab+k(a+b)+1=-ab,
∴k^2[-3/(4+k^2)]+k[-2k/(4+k^2)]+1=3/(4+k^2),
∴-3k^2-2k^2+(4+k^2)=3, ∴4k^2=1, ∴k^2=1/4, ∴k=±1/2.
此时,a+b=-2(±1/2)/(4+1/4)=±1/(17/4)=±4/17.
ab=-3/(4+1/4)=-12/17.
∴|AB|^2=(a-b)^2+[(ka+1)-(kb+1)]^2
=(a-b)^2+k^2(a-b)^2=(1+k^2)(a-b)^2=(1+1/4)[(a+b)^2-4ab]
=(5/4)[(±4/17)^2-4×(-12/17)]=20×(1+3×17)/17^2=4×5×16×2/17^2,
∴|AB|=2×4√10/17=8√10/17.
∴当k=±1/2时,OA⊥OB,此时|AB|为8√10/17.
∴可令A的坐标为(a,ka+1),B的坐标为(b,kb+1).
联立y=kx+1、x^2+y^2/4=1,消去y,得:x^2+(kx+1)^2/4=1,
∴4x^2+(k^2x^2+2kx+1)=4,∴(4+k^2)x^2+2kx-3=0.
显然,a、b是方程(4+k^2)x^2+2kx-3=0的两根,由韦达定理,有:
a+b=-2k/(4+k^2)、 ab=-3/(4+k^2).
OA的斜率=(ka+1)/a, OB的斜率=(kb+1)/b.
∵OA⊥OB,∴[(ka+1)/a][(kb+1)/b]=-1,
∴(ka+1)(kb+1)=-ab, ∴k^2ab+k(a+b)+1=-ab,
∴k^2[-3/(4+k^2)]+k[-2k/(4+k^2)]+1=3/(4+k^2),
∴-3k^2-2k^2+(4+k^2)=3, ∴4k^2=1, ∴k^2=1/4, ∴k=±1/2.
此时,a+b=-2(±1/2)/(4+1/4)=±1/(17/4)=±4/17.
ab=-3/(4+1/4)=-12/17.
∴|AB|^2=(a-b)^2+[(ka+1)-(kb+1)]^2
=(a-b)^2+k^2(a-b)^2=(1+k^2)(a-b)^2=(1+1/4)[(a+b)^2-4ab]
=(5/4)[(±4/17)^2-4×(-12/17)]=20×(1+3×17)/17^2=4×5×16×2/17^2,
∴|AB|=2×4√10/17=8√10/17.
∴当k=±1/2时,OA⊥OB,此时|AB|为8√10/17.
直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1交与A、B两点 ,k为何值时OA垂直OB,此时︳AB︳是多少
数学题-椭圆与直线已知椭圆X^2+Y^2/4=1,一直线y=kx+1与椭圆C交于A,B两点,则k为何值时,向量OA垂直向
直线y=kx+1与双曲线3x平方减y平方=1相交与ab两点,当k为何值时OA垂直于OB
直线y=kx+2与椭圆x^2+y^2/2=1交于A,B两点,当OA与OB的斜率之和为3时,直线AB的方程是?
直线y=kx+2与椭圆x^2+y^2/2=1交于A、B两点,O是坐标原点,当直线OA、OB的斜率之和为3时,直线AB的方
直线l:y=kx+1与椭圆C:2X^2+Y^2=2交于A、B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB
直线l:y=kx+1与椭圆C:x²+y²/2=1交于A,B两点,以OA,OB为邻边做平行四边形OAP
直线l:y=kx+根号2与椭圆C:x^2/3+y^2=1交于不同的两点A.B,且向量OA乘向量OB=1,求k值
直线和椭圆的关系直线y=kx+2与椭圆x^2+y^2/2=1交于A B两点 C为原点 当OA OB的斜率之和为3时 求A
已知椭圆方程x²/4+y²=1 ,直线l:y=kx+根号2与椭圆交于AB两点,当OA⊥OB时,求直线
设F1F2分别是椭圆x^2/4+y^2=1的左右焦点,过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A,B,OA垂直于OB时,
直线y=kx+2与椭圆C:x^2+4y^2=4交于不同的两点A、B 求证:-1<向量OA·向量OB<13/4 .求解释为