神马作文网函数概念与性质设函数y=f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 22:13:32
函数概念与性质
设函数y=f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)试求方程在区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论.
*和对称性有关吧?然后……*
设函数y=f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)试求方程在区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论.
*和对称性有关吧?然后……*
∵在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0
∴f(5)≠0,又f(2-x)=f(2+x)
∴f(-1)=f(5)≠0
∴f(-1)≠f(1)=0
∴f(-1)≠±f(1)
即函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
f(2-x)=f(2+x),得f(x)=f(4-x);
f(7-x)=f(7+x),得f(x)=f(14-x);
所以f(4-x)=f(14-x)
f(4-(4-x))=f(14-(4-x))
得f(x)=f(x+10)
f(x)是周期函数,最小正周期为10.
当n为整数时,f(10n+1)=f(1)=0,f(10n+3)=f(3)=0,
其中-2005≤10n+1≤2005,-2005≤10n+3≤2005,
-200.6≤n≤200.4,-200.8≤n≤200.2,
这两个不等式分别有401个整数解,
即方程f(x)=0有802个根.
∴f(5)≠0,又f(2-x)=f(2+x)
∴f(-1)=f(5)≠0
∴f(-1)≠f(1)=0
∴f(-1)≠±f(1)
即函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
f(2-x)=f(2+x),得f(x)=f(4-x);
f(7-x)=f(7+x),得f(x)=f(14-x);
所以f(4-x)=f(14-x)
f(4-(4-x))=f(14-(4-x))
得f(x)=f(x+10)
f(x)是周期函数,最小正周期为10.
当n为整数时,f(10n+1)=f(1)=0,f(10n+3)=f(3)=0,
其中-2005≤10n+1≤2005,-2005≤10n+3≤2005,
-200.6≤n≤200.4,-200.8≤n≤200.2,
这两个不等式分别有401个整数解,
即方程f(x)=0有802个根.
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