已知函数f(x)=1/3x^3-(2a+1)x^2+3a(a+2)x+1,a∈R

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 22:29:40

已知函数f(x)=1/3x^3-(2a+1)x^2+3a(a+2)x+1,a∈R
（1）当a=0时,求曲线y=f（x）在点（3,f（3））处的切线方程;
（2）当a=-1时,求函数y=f（x）在[0,4]上的最大值和最小值；
（3）当函数y=f＇（x）在（0,4）上有唯一的零点时,求实数a的取值范围.

先对函数求导：
f'(x) = x^2 - 2(2a+1) x + 3a(a+2) = (x - 3a)(x - a - 2) (直接先因式分解)
（1）a = 0时,f(3) = 3^3/3 - 3^2 + 1 = 1.
切线的斜率就是导数的数值,因此切线斜率为f'(3) = 3*(3-2) = 3.
所以切线方程的点斜式为 y - 1 = 3(x-3),y = 3x - 8；
（2）a = -1时,先求f'(x) = 0的解,根据上面的因式分解,两个解分别为：
x1 = 3a = -3,x2 = a + 2 = 1.其中x1不在区间[0,4]上,所以函数仅有一个极值点.
由于当0 < x < x2时,f'(x) < 0（因为此时-3 < x < 1）,函数单调递减；
当x > x2时,f'(x) > 0,函数单调递增；
所以函数在x = x2 = 1处取最小值,最小值为f(1) = -2/3；
最大值需要比较函数在两端点的数值,由于f(0) = 1,f(4) = 79/3,所以最大值为79/3；
（3）由于f'(x) = x^2 - 2(2a+1) x + 3a(a+2) = (x - 3a)(x - a - 2),
它的一个零点是3a,另一个零点是a+2,但是我们并不知道哪个零点大,所以必须分三种情况讨论：
第一,如果3a = a+2,即a = 1,那么函数只有唯一的零点x=3,正好位于（0,4）内,所以是符合条件的；
第二,如果3a < a+2,那么如果要求f'(x)在(0,4)上只有一个零点,就必须是
要么0 < 3a < 4

已知函数f(x)=x^3+ax^2-1,x∈R,a∈R 已知函数f(x)=x^3+ax^2+x+1,a∈R 已知函数f（x）=x³/3-[(a+1)x²]/2+bx+a(其中a,b∈R）,其导函数f'(x)的已知函数f(x)=1/3x^3-(2a+1)x^2+3a(a+2)x+1,a∈R 已知函数f(x)=-sin^2 x+2a sinx+a-1,x∈R 已知函数f(x)=x*2-4x+a+3,a∈R 已知函数f(x)=ln(x-1)+2a/x(a∈R) 已知函数f(x)=a/3x^3-3/2x^2+(a+1)x 已知函数f(x)=sin^2x+acosx+5a/8-3/2,a∈R.当a=1,求函数f(x)的最大值已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2| (a∈R,且a≠-2). （2009浙江高考）已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b(a,b属于R) 已知函数f(x)=x^2+/x-a/+1(x属于R),a>0,求f(x)的最小值.