神马作文网线性代数：求A的正交相似标准形.
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 17:52:02
线性代数：求A的正交相似标准形.
解题思路是什么?
解题思路是什么?
第一步. 计算A的特征多项式f(x)=|xE-A|=(x-1)^2(x-6)^2, 从而A的特征值为x_1=1,x_2=6
第二步 求特征值的线性无关的特征向量
特征值1的特征向量满足(E-A)X=0, 解方程组得到:X_1=(1,2,0,0)^T,X_2=(0,0,1,2)^T.
特征值6的特征向量满足(6E-A)X=0, 解方程组得到:X_3=(2,-1,0,0)^T,X_4=(0,0,2,-1)^T.
第三步 将上面的特征向量做施密特正交化处理. 由于X_1,X_2,X_3,X_4是正交向量组, 所以只需要进行单位化即可, 令Y_i=(1/√5)X_i (i=1,2,3,4).
第四步 以Y_1, Y_2,Y_3,Y_4为列构造4行4列的方阵Q, 则 Q是正交矩阵, 且Q^TAQ=diag(1,1,6,6)(主对角线上分别为1,1,6,6的对角阵), 即得到A的正交相似标准形.
望采纳!
第二步 求特征值的线性无关的特征向量
特征值1的特征向量满足(E-A)X=0, 解方程组得到:X_1=(1,2,0,0)^T,X_2=(0,0,1,2)^T.
特征值6的特征向量满足(6E-A)X=0, 解方程组得到:X_3=(2,-1,0,0)^T,X_4=(0,0,2,-1)^T.
第三步 将上面的特征向量做施密特正交化处理. 由于X_1,X_2,X_3,X_4是正交向量组, 所以只需要进行单位化即可, 令Y_i=(1/√5)X_i (i=1,2,3,4).
第四步 以Y_1, Y_2,Y_3,Y_4为列构造4行4列的方阵Q, 则 Q是正交矩阵, 且Q^TAQ=diag(1,1,6,6)(主对角线上分别为1,1,6,6的对角阵), 即得到A的正交相似标准形.
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