求高中数学数列错位相减例题

求高中数学数列错位相减例题

错位相减法　　错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.
　　形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可.
　　例如,求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
　　当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
　　当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
　　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
　　Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
　　两边同时乘以1/2
　　1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
　　两式相减
　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
　　Sn=1-1/2^n
　　错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：
　　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）
　　在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：
　　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）
　　用（1）—（2）,得到等式（3）如下：
　　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）
　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.
　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了.
　　例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0）
当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方
　　当x不等于1时,Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方
　　所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方
　　所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋.+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方.
　　化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方
　　Cn=(2n+1)*2^n
　　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
　　2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
　　两式相减得
　　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)
　　=(1-2n)*2^(n+1)-2
　　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
　　错位相减法
　　这个在求等比数列求和公式时就用了
　　Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
　　两边同时乘以1/2
　　1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
　　两式相减
　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
　　Sn=1-1/2^n