神马作文网（2008•石景山区一模）已知函数f(x)＝ax2+1x−2lnx（x＞0）．
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/12 16:21:53
（2008•石景山区一模）已知函数f(x)＝ax
（Ⅰ）由f(x)＝ax2+
1
x−2lnx，得f′(x)＝2ax−
1
x2−
2
x．（2分）
由函数f（x）为[1，+∞）上单调增函数，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2ax−
1
x2−
2
x≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥
1
2x3+
1
x2在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=
1
2x3+
1
x2，上述问题等价于a≥g（x）max．
而g（x）=
1
2x3+
1
x2为在[1，+∞）上的减函数，则g(x)max＝g(1)＝
3
2．
于是a≥
3
2为所求．（6分）
（Ⅱ）证明：由f(x)＝ax2+
1
x−2lnx，
得
1
2[f(x1)+f(x2)]＝a•
x21+
x22
2+
1
2•(
1
x1+
1
x2)−(lnx1+lnx2)
=a•
x21+
x22
2+
x1+x2
2x1x2
1
x−2lnx，得f′(x)＝2ax−
1
x2−
2
x．（2分）
由函数f（x）为[1，+∞）上单调增函数，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2ax−
1
x2−
2
x≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥
1
2x3+
1
x2在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=
1
2x3+
1
x2，上述问题等价于a≥g（x）max．
而g（x）=
1
2x3+
1
x2为在[1，+∞）上的减函数，则g(x)max＝g(1)＝
3
2．
于是a≥
3
2为所求．（6分）
（Ⅱ）证明：由f(x)＝ax2+
1
x−2lnx，
得
1
2[f(x1)+f(x2)]＝a•
x21+
x22
2+
1
2•(
1
x1+
1
x2)−(lnx1+lnx2)
=a•
x21+
x22
2+
x1+x2
2x1x2
（2008•石景山区一模）已知函数f(x)＝ax2+1x−2lnx（x＞0）．
已知函数f（x）=x-ax2-lnx（a＞0）．
（2006•石景山区一模）已知函数f(x)＝cos(π−x)sin(π2+x)+3sinxcosx．
（2013•石景山区一模）已知函数f(x)=sin(2x+π6)+cos2x．
（2012•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝lnx−12ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．
已知函数f(x)＝12ax2−(a+1)x+lnx．
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．
已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．
函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx．
（2014•安阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+x，a∈R．
已知函数f（x）=lnx+ax2-2bx（a，b∈R），g（x）=2x−2x+1-clnx．
已知函数f(x)＝lnx−12ax2+(a−1)x（a∈R且a≠0）．