A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 19:00:31

A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解
主要证充分性

首先要有这个概念:
方程组Ax=β有解当且仅当 β 可由A的列向量组线性表示.
若这个结论没问题, 就可以这样证明充分性
因为对任意n维向量β,方程组Ax=β有解
所以任一n维向量都可由A的列向量组线性表示
特别地, 对n维基本向量 ε1,ε2,...,εn 可由A的列向量组线性表示
而任一n维向量都可由 ε1,ε2,...,εn 线性表示
所以, A的列向量组与 ε1,ε2,...,εn 等价.
所以 r(A) = r(ε1,ε2,...,εn) = n
所以 A 可逆.

A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β) 证明：A是反对称矩阵,当且仅当对任一个n维向量X,有X'AX＝0. 设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵 A为n阶反称矩阵,当且仅当对任意n维向量X,都有X^TAX=0.这个怎么证设A,B是n阶矩阵,证明:当且仅当A和B都可逆,乘积矩阵AB可逆. 大学线性代数可逆矩阵设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵（A B)是可逆矩阵当且仅当A+B与A-B均为可逆矩阵B A 设A是n阶实对称矩阵证明:A是半正定矩阵当且仅当对任意n阶半正定矩阵B都有tr(AB)大于等于证明一个N阶实对称矩阵A是正定的当且仅当存在可逆实对称矩阵B,满足A=B*B 设C为n阶实可逆矩阵,A为n阶实对称矩阵,证明：A正定当且仅当C'AC正定设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆 α1,α2...αm是m个n维列向量,且A是可逆的n阶可逆矩阵证明当α1,α2...αm线性相关时,Aα1,Aα2..