神马作文网一道求体积的数学题 应该需要用到微积分 希望有人能会做
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 06:04:36
一道求体积的数学题 应该需要用到微积分 希望有人能会做
现在要挖一个沟 这个沟是L米长 随着挖沟的长度增加 深度也在增加 增加的深度就是n倍的L
沟的底面宽度不变为W 两边坡度也不变 沟的上表面宽度是因为随着深度的增加而放宽 为2mh+w
想问下这个沟的体积是多少 应该是涉及到微积分了 好久以前学过的都忘了.希望会的朋友可以解答一下 最好给出公式似的东西
现在要挖一个沟 这个沟是L米长 随着挖沟的长度增加 深度也在增加 增加的深度就是n倍的L
沟的底面宽度不变为W 两边坡度也不变 沟的上表面宽度是因为随着深度的增加而放宽 为2mh+w
想问下这个沟的体积是多少 应该是涉及到微积分了 好久以前学过的都忘了.希望会的朋友可以解答一下 最好给出公式似的东西
楼主有一个参数没有交代清楚,那就是上表面的起始宽度
底面宽度和坡度保持不变,则沟的梯形剖面就始终是相似的
你的第二幅图很容易产生歧义的,深度h和宽度W+2mh不大可能在同一个剖面上的
我按“底面宽度和坡度不变”,重新画图,如下左图
设起始宽度为D1=W+2d,终了宽度为D2=W+2mh
起始深度为h,终了深度为H=h+nL,则可计算起始宽度D1
由图中小三角形相似,有 h/H=d/(mh)
可解得 d=mh^2/H,∴D1=W+2d=W+2mh^2/H
设沿L方向与起点距离为z的任意纵切面的上表面宽度为x,深度为y
则有 D1≤x≤D2,h≤y≤H
该纵切面梯形面积为
A=1/2*(x+W)*y
取L方向微小长度为dz的立体,则此立体体积为
dV=Adz=1/2*(x+W)*y*dz
由x从D1到D2的线性变化,可解得 x=D1+(D2-D1)/L*z
由y从h到H的线性变化,可解得 y=h+n*z
∴所挖沟渠的体积为
V=∫dV=∫<0,L>Adz
=∫<0,L>1/2*(x+W)*y*dz
=∫<0,L>1/2*[D1+(D2-D1)/L*z+W]*(h+nz)*dz
=1/2∫<0,L>{(D1+W)h+[n(D1+W)+(D2-D1)h/L]*z+n(D2-D1)/L*z^2}*dz
=1/2*{(D1+W)h*z+[n(D1+W)+(D2-D1)h/L]*z^2/2+n(D2-D1)/L*z^3/3}|<0,L>
=1/2*{(D1+W)h*L+[n(D1+W)+(D2-D1)h/L]*L^2/2+n(D2-D1)/L*L^3/3}
=1/12*{3(D1+D2+2W)hL+(D1+2D2+3W)nL^2}
将D1和D2的数据代入,即可计算沟渠体积V
底面宽度和坡度保持不变,则沟的梯形剖面就始终是相似的
你的第二幅图很容易产生歧义的,深度h和宽度W+2mh不大可能在同一个剖面上的
我按“底面宽度和坡度不变”,重新画图,如下左图
设起始宽度为D1=W+2d,终了宽度为D2=W+2mh
起始深度为h,终了深度为H=h+nL,则可计算起始宽度D1
由图中小三角形相似,有 h/H=d/(mh)
可解得 d=mh^2/H,∴D1=W+2d=W+2mh^2/H
设沿L方向与起点距离为z的任意纵切面的上表面宽度为x,深度为y
则有 D1≤x≤D2,h≤y≤H
该纵切面梯形面积为
A=1/2*(x+W)*y
取L方向微小长度为dz的立体,则此立体体积为
dV=Adz=1/2*(x+W)*y*dz
由x从D1到D2的线性变化,可解得 x=D1+(D2-D1)/L*z
由y从h到H的线性变化,可解得 y=h+n*z
∴所挖沟渠的体积为
V=∫dV=∫<0,L>Adz
=∫<0,L>1/2*(x+W)*y*dz
=∫<0,L>1/2*[D1+(D2-D1)/L*z+W]*(h+nz)*dz
=1/2∫<0,L>{(D1+W)h+[n(D1+W)+(D2-D1)h/L]*z+n(D2-D1)/L*z^2}*dz
=1/2*{(D1+W)h*z+[n(D1+W)+(D2-D1)h/L]*z^2/2+n(D2-D1)/L*z^3/3}|<0,L>
=1/2*{(D1+W)h*L+[n(D1+W)+(D2-D1)h/L]*L^2/2+n(D2-D1)/L*L^3/3}
=1/12*{3(D1+D2+2W)hL+(D1+2D2+3W)nL^2}
将D1和D2的数据代入,即可计算沟渠体积V