已知整系数方程x^2+p1x+q1=0和x^2+p2x+q2=0有一个非整数的公共根,求证：p1=p2,q1=q2

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 14:14:51

已知整系数方程x^2+p1x+q1=0和x^2+p2x+q2=0有一个非整数的公共根,求证：p1=p2,q1=q2
p1 p2 q1 q2 中的1 2是下标
1

对于一元二次方程,设其解为x1,x2,则必有
x1+x2 = -b/a
x1*x2 = c/a
本题a=1
即有
x1+x2 = -b
x1*x2 = c
而系数都是整数,故
x1+x2,x1*x2亦都是整数
而其中一个解为非整数,
又
一元二次方程同解,为
[-b +- √（b^2-4ac）]/2a,
本题为
[-b +- √（b^2-4c）]/2,
若b^2-4c可以开方出整数,则-b +- √（b^2-4c）必为奇数（否则必将解出两个整数解,不合题意）（-b +- √（b^2-4c）奇偶性相同,因为他们相差2*√（b^2-4c））,由此知
b^2-4c不能开方出整数,意即
[-b +- √（b^2-4c）]/2是无理数
又两个方程共某无理数解,假设:
1.若[-p1 + √（p1^2-4q1）]/2 = [-p2 + √（p2^2-4q2）]/2,则
由于√（p1^2-4q1）是无理数,固有
-p1 = -p2
√（p1^2-4q1)= √（p2^2-4q2）
可以解出p1=p2,q1=q2
2.若[-p1 + √（p1^2-4q1）]/2 = [-p2 - √（p2^2-4q2）]/2,则有
√（p1^2-4q1）+ √（p2^2-4q2）= p1 - p2
无理数=有理数,不成立
3.- = +,同2
4.- = -,同4,
故必有
p1=p2,q1=q2

已知整系数方程x^2+p1x+q1=0和x^2+p2x+q2=0有一个非整数的公共根,求证：p1=p2,q1=q2 一元二次方程题目设p1、p2、q1、q2为实数,且p1*p2=2（q1+q2）,证明方程X^2+p1x+q1=0和 X^ 已知关于x的方程x^2+p1x+q1=0和x^2+p2x+q2=0,且p1p2=2(q1+q2),证明这两个方程中至少有若p1p2=2（q1+q2），证明：关于x的方程x2+p1x+q1=0与方程x2+p2x+q2=0中，至少有一个方程有实已知方程甲：x2＋p1x＋q1＝0,方程乙：x2＋p2x＋q2＝0,其中p1,p2,q1,q2均为实数,且满足p1p2＝如果P,Q1,Q2都是实数,并且P=Q1+Q2+1,则二次方程 X^2+X+q1=0,X^2+PX+Q2=0至少有一个具有理函数的不定积分p(x)/q(x)=p1(x)/q1(x)+p2(x)/q2(x), 数学归纳法题设P1,P2,P3...Pn,...是曲线y=x^1/2上的点列,Q1,Q2,...Qn,...是x轴正半轴两个点电荷Q1和Q2(Q1带正电,Q2带负电,且Q2=4Q1) 如图,在x轴上有两个点电荷,一个带正电Q1 ,另一个带负电Q2 ,且满足Q1=2Q2 在x轴上有两个点电荷,一个带正电Q1,一个带负电Q2,且|Q1|=2|Q2|,用E1和E2分别表示两个电荷产生的场强大在x轴上有两个点电荷,一个带正电Q1,一个带负电Q2,且|Q1|=2|Q2|,用E1和E2分别表示两个电荷产生的场强大小