试说明对于任意正整数N,式子2的N 4次方-2的N次方必能被30整除

2^(n+4)-2^n=2^n*2^4-2^n=2^n(2^4-1)=2^n(16-1)=15*2^n=3*5*2^n∴{2^(n+4)-2^n}÷3={3*5*2^n}÷3=5*2^n

2^(n+4)-2^n=2^n*(2^4-1)=2^n*15=2*15*2^(n-1)=30*2^(n-1)因为n是正整数,所以,n-1>=0,所以,2^n+4-2^n必能被30整除

n(n+7)-(n-3)·(n-2)展开=n方+7n-n方+5n-6=12n-612能被6整除所以12n（n为自然数）均能被6整除所以12n-6能被6整除或继续展开12n-6=6（2n-1）能被6整除

3^(n+2)-2^(n+2)+3^n-2^n=3^n(3²+1)-2^n(2²+1)=3^n*10-2^n*5=10*[3^n-2^(n-1)]一定是10的倍数

不妨设这n个数为：a,a+1,a+2,…,a+(n-1),a>0将这n个数相加：na+(1+…+(n-1))=na+n*(n-1)/2=n*[a+(n-1)/2]要对任意的a,都有上式为8的倍数只要,

2^(n+4)-2^n=2^n(2^4-1)=(2^n)*15

证明:原式=4n^2+4n+1-1(完全平方公式,展开)=4n^2+4n（合并同类项）=4n(n+1)（提取公因式）因为4是可以被4整除的,而n（n+1）必然是偶数（n与n+1一定一奇数一偶数）,能被

3^n+2-4*3^n+1+10*3^n=9*3^n-12*3^n+1+10*3^n=-3*3^n+10*3^n=7*3^n能被7整除

应该是2^(n+4)-2^n能够被30整除吧?2^(n+4)-2^n=2^n×2^4-2^n=2^n×(2^4-1)=2^n×15=2^(n-1)×30所以对于任何正整数n,2^(n+4)-2^n能被

2^(n+4)-2^n=2^n*2^4-2^n=2^n(2^4-1)=2^n*15=2^(n-1)*30必定能被30整除

2^(n+4)=2^n*2^4=16*2^n所以2^(n+4)-2^n=15*2^n=30*2^(n-1)所以必能被30整除

没有问题对于x^n-y^n-z^n(x>y,x>z)y,z能取到的最大的整数就是x-1假设y=z=x-1则x^n-2(x-1)^n>0这就说明了x^n>y^n+z^n所以x^n=y^n+z^n没有正整

n（n+7）-（n+3）（n-2）=n2+7n-（n2+n-6）=6n+6=6（n+1），∴当n为正整数时，6（n+1）总能被6整除．

证明：令f(x)=ln(1/2+1/x)-(1/x²-2/x-1),则f'(x)=1/(1/2+1/x)-(-2/x³+2/x²)=(x^4-x+1)/[x³(

3^(n+2)-2^(n+2)+3^n-2^n=9*3^n+3^n-4*2^n-2^n=10*3^n-5*2^n=10*3^n-10*2^(n-1)=10*[3^n-2^(n-1)]所以对于任意正整数

（3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n^2-1-(9-n^2)=9n^2-1-9+n^2=10n^2-10=10(n^2-1)是10的倍数.n=1时,（3n+1)(3n-1)-(3-n)

后面是(3+N)(3-N)原式=9N²-1-9+N²=10N²-10=10(N²-1)所以是10的倍数

原题目:对于任意正整数n,代数式n(n+5)-(n+2)(n-3)的值是否总能被6整除?请说明理由证明:n(n+5)-(n+2)(n-3)=n^2+5n-(n^2-n-6)=6n+6=6(n+1)所以

能.原式=n*2+5n-n*2+n+6=6n+6能被6整除

n(n+7)-(n-3)(n-2)=n^2+7n-n^2+5n-6=12n-6=6(2n-1)