设A,B都是n阶方阵,(A I)(A-I)=A²-I对吗

n阶矩阵乘积的秩有不等式r(AB)≥r(A)+r(B)-nAB=0,即有r(AB)=0,代入即得.还有一种想法,B的列向量都是线性方程组AX=0的解.于是AX=0解空间的维数n-r(A)应该≥B的列秩

A可逆,A^(-1)ABA=BA,因此AB与BA相似

C=AB,r(C)=r(AB)

B的每个列向量都是齐次方程AX=0的解.当B为零矩阵时,AX=0只有零解,所以r(A)=n,B为零矩阵所以r(B)=0此时r(A)+r(B)=n当B为非零矩阵时,AX=0有非零解,所以r(A)

因为B^2=B,所以B^2-B-2I=-2I,即（B+I)(B-2I)=-2I,也就是（B+I)(B-2I/-2)=I.所以A（B-2I/-2)=I,根据定义AB=BA=E,所以A可逆.也可以这么做的

只要证明（ATA-1AB）T(ATA-1AB)=单位阵就行用转置的性质(AB)T=BTAT和ATT=A的到（ATA-1AB）T=BTATA-1TA,用它乘上ATA-1AB用条件A,B都是n阶正交阵所以

有定理：若AB=0,A和B都不为零,则│A│=│B│=0证明：因为AX=0有非零解B,所以│A│=0同理YB=0有非零解A,所以│B│=0证毕据此,得到一个结论：若AB=0,则A,B至少有一个为0,否

1.因为B^-1A=B^-1(AB^-1)B所以B^-1A与AB^-1相似所以它们有相同的特征值.2.设a为A的特征值则a^2-1是A^2-E的特征值因为A^2-E=0,零矩阵的特征值只能是0所以a^

因为A可逆,所以A^(-1)ABA=BA所以AB与BA相似.

|2A*B^-1|=2^n|A*||B^-1|=2^n*2^(n-1)*(-1/3)=-2^(2n-1)/3再问：不懂，求解释再答：这里用到几个性质:1.|kA|=k^n|A|2.|AB|=|A||B

因为B^2=B,所以B^2-B-2I=-2I,即（B+I)(B-2I)=-2I,也就是（B+I)(B-2I/-2)=I.所以A（B-2I/-2)=I,根据定义AB=BA=E,所以A可逆.也可以这么做的

B(B^{-1}A)B^{-1}=AB^{-1},则B^{-1}A与AB^{-1}相似,从而有相同的特征值.

证明：由于矩阵A可逆，因此A-1存在，故A-1（AB）A=（A-1A）BA=BA，故AB与BA相似

AB*(AB)^(-1)=EAB^(-1)=B^(-1)A^(-1)AB*(AB)^(-1)=AB*B^(-1)*A^(-1)=A[B*B^(-1)]A^(-1)=E故：B*B^(-1)不等于0B*B

因为AB=0,所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解.而根据线性方程组理论,AX=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤n-r(A).而B的列向量组是解空间的一部分,所以B的列向量

是说CAB0A、B可逆->A、B满秩考虑A（a1……an）、B（b1……bn）的列向量各自线性无关,因此延伸组（a‘1……a’n）（b‘1……b’n）各自线性无关.对b‘i,由于a’i的第n+1->2

将逆矩阵设出来直接求解请见下图

A是正交矩阵的充分必要条件是A'A=EAA'=EA^(-1)=A'.由A,B是正交矩阵,所以A'A=E,B'B=E,等等.所以有[A^(-1)]'A^(-1)=(A')'A'=AA'=E,所以A^(-

我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.（1）n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.（2）证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.（3）证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们

这是个定理或性质.它的证明比较繁琐,若学过Laplace展开还好一点.记住这个结论就行了,不必深究它的证明!