C是以AB为直径的⊙O上一点, AP:PC=1:2,求CF的长

设AH=x,AO=r,C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,CH^2=AH*HB=x(2r-x),∴CH=√[x(2r-x)],E为CH中点,∴EH=CH/2=(1/2)√[x(2r-x)

①过C作半圆的切线,∠COB＝90度;∠DAC＝∠CAB,OA=OC,∠OCA＝∠CAB∠COB＝∠CAO+∠OCA＝∠CAB+∠CAB＝∠CAB+∠DAC=∠DAB,OC‖AD,∠ADC＝90度;A

（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∵OP//BC∴∠POA=∠CBA∵∠P=∠BAC∴∠PAO=∠ACB=90°∴PA是⊙O的切线（2）∵∠P=∠BAC,∠PAB=∠ACB∴△PAO∽△

（1）连接OC,OE,O和E分别为AB和BD中点,所以OE//AD,即

当C不与A,B两点重合时,AP

（1）证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CF，∴∠ADC=∠OCF=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BA

∵CD切⊙O于C,∴∠DCN＝∠DAM,又∠CDN＝∠ADM,∴△CDN∽△ADM,∴∠CND＝∠AMD,∴∠CMN＝∠CNM,∴△CMN是以MN为底边的等腰三角形.再问：∵CD切⊙O于C，∴∠DCN

∵CH⊥AB,DB⊥AB∴CH‖BD∵E是CH中点∴F是BD中点即F为RT△BCD斜边上的中点,那么∠CBF=∠FCB因为∠CBF=∠BAC=ACO∴∠GCO=ACB=90°.即CG是⊙O的切线过F做

证明：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF．（1分）∴EHBF=AEAF=CEFD．∵HE=EC，∴BF=FD．（3分）（2）连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠AC

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，∴EHBF＝AEAF＝CEFD，∵HE=EC，∴BF=FD（2）证明：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵

第一问：作辅助线OC,OC=OA,易证得三角形OAF＝三角形OCF,角FC0=角FAO=90度第二问：第一种：易知OF平形于BC,有三角形PFO相似于三角形PCB,则PF/PC=0F/BC,由已知可求

4+4FG+FG^2=2BG^2=2(FG^2-BF^2),BF=24+4FG+FG^2=2FG2-8,FG^2-4FG-12=0.

（1）证明：连接OC．∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD．又∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠OCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）．∵OC=OA（⊙O的半径），∴∠OCA=∠OAC（等边对等角）．∴

（1）连接OC，∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠1=∠4．∵∠2=∠4，∴∠1=∠2．（2）做OE⊥AD，设半径为x，∵CD⊥AD，∴OE∥CD；又OC⊥CD，∴OC∥AD

①当P在直线AB延长线上时，如图所示：连接OC，设∠CPO=x°，∵PQ=OQ，∴∠OQP=∠CPO=x°，∴∠CQO=2x°，∵OQ=OC，∴∠OCQ=∠CQO=2x°，∵点C为半圆上的三等分点，∴

（1）证明：连接OC，∵C是⊙O上一点，DC是切线，∴OC⊥CD．又∵AD⊥DC，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO．又∵AO=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO．即AC平分∠DAB．（

连接CA弧BC=弧CE,∴∠EAC=∠CAB.∠EAB=2∠CAB∠COB=2∠CAB（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）∠EAB=∠COBOC‖AE,即OC‖AD

o的半径=2,应该是吧=-=再问：要过程类

证明：如图，连接PB、BR，则∠APC=45°，∠APB=90°；故∠BPQ=180°-∠APC-∠APB=45°；又∵∠APB=90°=∠BQR，∴B、Q、R、P四点共圆；于是∠BRQ=∠BPQ=4