ab2=ad2=bd.dc

取BC边所在的直线为x轴，BC上的高为y轴，建立如图所示的坐标系．设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）．由已知，AB2=AD2+BD×DC，∴a2+b2=c2+d2+（d-b）（c

在Rt三角形ABD中,AB2=AD2+BD2(1)角B=60°故可得3BD2=AD2(2)将（2）代入（1）可以得出AB2=1/3BD2+BD2整理就可得出：3AB2=4AD2

AC2-CD2=AD2=>AC2=CD2+AD2……1=>角ADC=90=>角ADB=90=>AB2=AD2+BD2=……2=>1,2两式相减AB2-AC2=AD3+BD2-CD2-AD2=BD2-C

因为AD=DC延长DC,到F使BC=BF,连接AC,AF相当于把三角形ADB绕点D旋转至三角形CDf,连接Bf所以Cf=AB,Df=BD,角fCD=角BAD,角FDC=角BDA因为角ABC=30°,角

∵AB=CD∠ABD=∠CDBBD=BD∴△ABD≌△BCD∴∠ADB=∠DBC内错角相等∴AD∥BC

做AE垂直于BC于E,则有AB^2=BE^2+AE^2AC^2=CE^2+AE^2AE^2=AD^2-DE^2BD=CDBE=BD-DE=CD-DECE=CD+DEAB^2+AC^2=(CD+DE)^

解析法过A作到BC的垂线交BC点为原点建立直角坐标系设B点坐标（b,0)A点坐标（0,a)C点坐标（c,0)D点坐标（d,0)因题可得；AB^2=a^2+b^2AD^2=a^2+d^2BD=(d-b)

http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/DB.png

（1）当∠C为锐角时，由AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，△BDA∽△ADC，∴∠CAD=∠B=25，∴∠BCA=65°；（2）当∠C为钝角时，同理可得，△BDA∽△ADC∴∠BCA=25°+

D点的位置有3种：在BC中点上、在BC左边、在BC右边1.当D在在BC中点上AB2-AD2=BD2=DC2=DB·DC2.当D在BC左边作AE垂直于BC于EAB2=AE2+BE2AD2=DE2+AE2

证明：作直径AE，连BE，CE，如图，∴∠ABE=90°，∴AB2+BE2=AE2=4R2，又∵AB2+CD2=4R2，∴BE=CD，∴弧BE=弧CD，∴BD∥EC，而∠ECA=90°，∴AC⊥BD．

那就是这样解...∵向量/AB/+/BD/+/DC/=4又∵向量/AB/*/BD/+/BD/*/DC/=4所以将第一个方程带入第二个就能解出BD的长度为2,|AB|+|DC|=2∵向量AB*BD=BD

延长EF至G,使EF=GE,连接BG因为E是AB中点所以AE=BE在中△AFE与△BGEAE=BE∠AEF=∠BGEFE=GE所以△AFE≌△BGE所以GB=AF,∠G=∠AFG=∠DFC因为AF=B

首先,做AE垂直于CD的反向延长线于E,同理做AF垂直于BD的反向延长线于F.第二步,因为角ADB=角ADC,所以角ADF=角ADE,又因为角AED和角AFD是直角,AD是公共边,所以直角三角形AED

证明：1、过M点作MN平行AB交AC于N点因为：M点是BC的中点,且角B=2角C所以：MN=(1/2)AB,角1=角B=角2+角4由N是直角三角形ADC的斜边中线知：角C=角2所以：角1=2角C=2角

线段AC被点BD三等分

作高线AE,很易证再问：那是几何方法，我认为可以用直线方程的思想来证明这道题，但是不太容易，所以想找一种更为简单的方法再答：那就用余弦定理从cosADC=-cosADB表示出来，相加就行了

证明：∵AB⊥AD,BD⊥DC∴∠BAD=∠BDC=90º∵BD²=AB×BC∴BD/AB=BC/BD∴Rt⊿ABD∽Rt⊿DBC【对应直角边和斜边成比例的直角三角形相似】∴BD/

从A点做BC垂足为E,E为BC中点.AD2=AE2+ED2=AE2+(BD-BE)2=AE2+BE2+BD2-2BD.BE=AB2+BD2-2BE.BE=AB2+BD2-2BD.BE=AB2+BD(B

因为AD^2=BD*AB,所以D是AB的另一个黄金分割点,所以AD=（√5-1）AB/2=√5-1,又因为点C是AB的黄金分割点,BC=(√5-1)AB/2=√5-1所以AC=AB-BC=2-(√5-