利用比较判别法及其极限形式判别下列正项级数敛散性∑9n (2n-1)(n 2)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 16:16:56
设an=(√n+2)/(2n-1)那么lim[an/(1/√n)]=lim[(n+2√n)/(2n-1)]=1/2所以原级数与1/√n的敛散性一致.所以原级数发散
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1.sin(π/2^n)0∵∑{1,inf}1/n发散,∴∑{1,inf}1/√n*sin(2/√n)/发散
设原级数是∑an,其中an=(n+3)/[n(n+1)(n+2)]构造级数∑bn,其中bn=1/(n^2)lim{n->无穷大}an/bn=lim{n->无穷大}[(n^2)(n+3)]/[n(n+1
因为在n趋向无穷大时,0
通项un=2sin^2(π/2n)limn→∞un/(1/n^2)~limn→∞π^2/2n^2/(1/n^2)=π^2/2因为Σ1/n^2收敛,所以原级数收敛.
a^(1/n)-1=e^(lna/n)-1等价于lna/n,而级数lna/n发散,因此原级数发散.
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借助等比级数和p级数
lim(n->∞)【(n+1)/(n^2+n+1)】/(1/n)=lim(n->∞)n(n+1)/(n^2+n+1)=1∑(n+1)/(n^2+n+1)和∑1/n一样发散
和1/(3/2)^n比较比较判别法的极限形式lim[n/(3^n)]/[1/2^n]=limn/2^n=limx->无穷x/2^x无穷除无穷,洛必达=limx->无穷1/2^xln2=0而几何级数1/
limn→∞un/(n/2^n)=π,因为级数n/2^n收敛,所以原级数收敛.级数n/2^n收敛可以用比值法确定.
用比较判别法的极限形式
当n>10时,lnn>2,u(n)=1/(lnn)^n已知∑1/(2^n)收敛,故∑1/[(lnn)^n]收敛.
分母可以写成n×(n^(1/n)),其中n开n次方的极限趋于1,所以原极数等价于1/n,发散.
由于 |u(n)|/[1/(n^2)]=1/n^(1/2)(或 |u(n)|/[1/(n^2)]=1/n^(1/2)→0(n→inf.)),而Σ[1/(n^2)]收敛,据比较判别法(或其极限形
lim【(n-1)/(n^2+1)】/【1/n】=1即与1/n同阶,而1/n是发散的,所以发散
当a>1时,级数和∑1/(1+a^n)中b(n+1)/bn=(1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a
用比较判别法